حد و پیوستگی

 توابع پیوسته

تابعی مانند که بتوان نمودار آن را در هر بازه ای از دامنه اش با حرکت پیوسته نوک قلم رسم کرد مثالی از یک تابع پیوسته است. نمودار این تابع در طول بازه به طور پیوسته با تغییر می کند. در هر نقطه داخلی دامنه تابع مانند نقطه در شکل (1) مقدار تابع حد مقادیر تابع در هر یک از دو طرف است.یعنی :

مقدار تابع در هر یک نقطه انتهایی نیز حد مقادیر تابع در نزدیکی آن است.در نقطه انتهایی چپ :

و در نقطه انتهایی راست :

---

پیوستگی در یک نقطه داخلی

تابعی چون در یک نقطه داخلی از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و فقط اگر :

---

پیوستگی در یک نقطه انتهایی

تابعی چون در یک نقطه انتهایی چپ از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و تنها اگر :

تابعی چون در یک نقطه انتهایی راست از دامنه اش مانند پیوسته است اگر و تنها اگر :

---

تابع پیوسته به بیان دیگر

یک تابع پیوسته است اگر در هر نقطه از دامنه اش پیوسته باشد.

---

ناپیوستگی در یک نقطه

اگر تابعی چون در نقطه ای مانند پیوسته نباشد گوییم در ناپیوسته است و را یک نقطه ناپیوستگی می خوانیم.

---

آزمون پیوستگی

تابع در پیوسته است اگر و تنها اگر هر سه گزاره زیر درست باشد :
الف. وجود دارد. ( در دامنه است.)
ب. وجود دارد. ( وقتی دارای حد است.)
ج. (این حد برابر با مقدار تابع است.)
در آزمون فوق اگر یک نقطه داخلی دامنه باشد حد مورد نظر دوطرفه است و اگر یک نقطه انتهایی دامنه باشد حد مزبور یک حد یک طرفه مناسب (چپ یا راست) است.

---

قضیه ترکیب حدها برای توابع پیوسته

اگر توابع در پیوسته باشند آنگاه همه ترکیبات زیر در پیوسته اند :
1.

2.

3.

4.

---

قضیه

هر تابع در هر نقطه ای که  مشتق داشته باشد در آن نقطه پیوسته است. یعنی اگر در دارای مشتق باشد آنگاه در پیوسته است.

---

قضیه

اگر در و در پیوسته باشند آنگاه تابع مرکب  در پیوسته است.

---

قضیه ماکسیمم-مینیمم برای توابع پیوسته

اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد آنگاه یک مقدار می نیمم و یک مقدار ماکزیمم بر اختیار می کند. یعنی اعدادی چون در وجود دارند به طوری که و و برای هر نقطه مانند در داریم :

---

قضیه مقدار میانی

اگر در هر نقطه از بازه بسته پیوسته باشد و عددی بین و باشد آنگاه دست کم یک نقطه بین وجود دارد که در آن نقطه مقدار را اختیار می کند. به شکل (2) توجه کنید.

یاعلی ابن موسی الرضا

خدا کند همیشه مست باشید

 

تا به ابد رضا پرست باشید

 

 

 

به یاد همه شما بودم

مصاحبه اشکان اسماعیلی رتبه 1 کنکور سراسری 89 با ایرنا

رتبه اول کنکور گروه رياضي روزانه 16 ساعت درس مي خواندم فوتبال جام جهاني هم مي ديدم

تهران - داوطلب رتبه اول آزمون سراسري دانشگاه ها و موسسات آموزش عالي سال 1389 در گروه آزمايشي علوم رياضي و فني گفت: در دو سه ماه باقيمانده تا برگزاري کنکور، روزانه 15 تا 16 ساعت درس مي خواندم.

"اشکان اسمعيلي" روز دوشنبه در اولين روز اعلام نتايج اوليه آزمون سراسري امسال در گفت و گو با خبرنگار فرهنگي ايرنا افزود: در ماه هاي اخير احساس خستگي مي کردم و بي حوصله شده بودم اما سعي کردم حداقل روزانه 15 تا 16 ساعت را درس بخوانم.
وي تماشاي مسابقات جام جهاني فوتبال را به عنوان تنها تفريح خود در روزهاي قبل از کنکور خواند و اظهار داشت: تقريبا تمام تفريح هاي ديگر را کنار گذاشته و فقط روي مطالعه تمرکز کرده بودم.
اسمعيلي با بيان اينکه از شنيدن خبر رتبه اول شدن خود شوکه و هيجان زده شده است گفت: انتظار داشتم که تک رقمي بشوم اما به دليل فشرده بودن رقابت، فکر نمي کردم رتبه اول را به دست بياورم.
وي که اولين تجربه حضور در آزمون سراسري را دارد اضافه کرد: به شرکت در کلاس هاي تقويتي کنکور اعتقادي ندارم و معتقدم اگر دانش آموزي همه امکانات مانند معلم خصوصي، کلاس هاي تقويتي و امکانات کمک آموزشي را دراختيار داشته باشد اما خودش همت نکند بي فايده و بي نتيجه خواهد بود همانطور که در سال هاي قبل، داوطلباني از شهرستان هاي کوچک که امکانات محدودي دارند توانستند با سعي و تلاش به رتبه هاي برتر کنکور دست پيدا کنند.
اين داوطلب تهراني درمورد رشته مورد علاقه خود براي تحصيل در دانشگاه توضيح داد: دو نفر از معلمان دبيرستان ما که مدرک دکتري برق دارند باعث آشنايي و علاقه مندي دانش آموزان به اين رشته شدند و زمينه گرايش بسياري از همکلاسي هاي ما را به رشته برق فراهم کردند.
وي که پرستيژ و ارزش علمي رشته هاي تحصيلي و دانشگاه هاي مختلف را در انتخاب آنان از سوي داوطلبان، تاثيرگذار مي داند درنظر دارد مهندسي برق صنعتي شريف را به عنوان رشته دانشگاهي خود انتخاب کند.
مادر اين داوطلب برتر کنکور 89 نيز در گفت و گو با خبرنگار فرهنگي ايرنا، رمز موفقيت فرزندش را در پشتکار و تلاش فراوان دانست و گفت: اشکان تا ساعت 3 در دبيرستان بود و بعد از آن هم يک ساعت و نيم تا دو ساعت استراحت مي کرد و از 5 بعدازظهر تا حداقل 12 شب و گاهي تا ساعت 2 نيمه شب درس مي خواند.
"گيتي نگارشي" افزود: فرزندم در سال آخر دبيرستان تنها به صورت تلفني با دوستانش در ارتباط بود و وقتي براي بيرون رفتن با آنها نداشت و ميزان مطالعه وي در روزهاي تعطيل حتي به 17 ساعت هم مي رسيد.
وي يادآور شد: اشکان متون درسي را به صورت عميق و مفهومي مي خواند، درصورت نياز هم درس هايش را چندين بار دوره مي کرد و درکنار آن هم تست مي زد تا دقت عملش را بالا ببرد.
مادر اين داوطلب درمورد انتخاب رشته فرزندش هم گفت: براي انتخاب رشته دبيرستان و همچنين رشته دانشگاهي، علاقه خودش مهم ترين شرط بوده و کشور به همه مشاغل احتياج دارد و طبيعتا علاقه دانش آموزان به معلم برخي دروس دبيرستان، در انتخاب اين رشته ها از سوي داوطلبان براي ادامه تحصيل در دانشگاه تاثير زيادي دارد.
آزمون سراسري دانشگاه ها و موسسات آموزش عالي سال 1389 روزهاي 10 تا 12 تيرماه با حضور يک ميليون و 112 هزار و 170 داوطلب برگزار شد که حدود 317 هزار نفر از آنان در آزمون گروه آزمايشي علوم رياضي و فني شرکت کردند.

امیرالمومنین حیدر مدد

 

بارگاه حضر ت علی (ع) در نجف

 

لافتی الا علی لا سیف الا ذوالفقار

 

ناد علیاً مظهرالعجایب

 

عید غدیر بر امام زمان و همه شیعیان جهان مخصوصاً دانش آموزان گرامی مبارک باد

 

دوستدار همیشگیتان سید وحید امیرکیائی

بزرگان کنکور

 

نام: عزت الله مشفق
متولد: 2/6/1332
متاهل ، داراي چهار فرزند
نوشين مشفق/فارغ التحصيل فوق ليسانس پليمر
محمد مشفق/فارغ التحصيل فوق ليسانس مكانيك تبديل انرژي
فرشته مشفق/دانشجوي سال چهارم پزشكي شهيد بهشتي
نيلوفر مشفق/دانشجوي سال سوم معماري دانشگاه تهران
سابقه كاري : بازنشسته شهريور ماه سال1382 آموزش و پرورش منطقه 10 تهران
مدرس رياضي جديد در نظام هاي قديم
مدرس گسسته و جبرواحتمال وهندسه در نظام جديد آموزش و پرورش
كتابهاي تأليفي : هندسه1وگسسته انتشارات راه انديشه
هندسه2،انتشارات سياه وسفيد فريد شهرياري
بانك تست هندسه تحليلي ،انتشارات فائق
بانك تست گسسته،انتشارات فائق
آمارمدل سازي،انتشارات فائق
شب كنكور گسسته،انتشارات تخته سياه
متمم جبرواحتمال وگسسته،انتشارات فائق
درحال حاضر در تعدادي ازدبيرستانهاي مناطق 1،2،3،4و6مشغول تدريس گسسته،هندسه هستم
درآموزشگاههاي هدف وفائق نيز مشغول تدريس مي باشم

بزرگان کنکور

 

نام : اياد فيلي
متولد : 1348
مدرك تحصيلي : فوق ليسانس حقوق
سابقه تدريس : از سال 1366
مهمترين تاليفات :
1. عربي به زبان ساده ـ انتشارات مبتكران
2. 20 آزمون عربي ـ انتشارات مبتكران
3. مجموعه كامل تستهاي نظام جديد-انتشارات مبتكران
4. عربي اختصاصي انتشارات رزمندگان
5. عربي علوم انساني (2جلد) - انتشارات انديشه فائق
6. شب كنكور عربي - انتشارات تخته سياه
7. مكالمات روزمره عربي - انتشارات شبا‌‌‌‌هنگ
8. عربي را چگونه ترجمه كنيم ـ انتشارات انديشه فائق
9. عربي جامع - انتشارات مبتكران
در حال حاضر مديريت انتشارات انديشه فائق و آموزشگاه آفاق ( انديشه فائق سابق )و تدريس زبان عربي چندين دبيرستان معتبر شهر تهران را بعهده دارم

بزرگان کنکور

 

نام: عقيل فردي
متولد: مرداد 1342
شروع به خدمت آموزش وپرورش: 1361
فارغ التحصيل: تربيت معلم منطقه آموزشي منطقه يك تهران
كارشناس برگزيده صدا و سيما
مشاور ارشد آموزشي مجله‌ي خانوادۀ سبز
مؤلف كتابهاي: تخته سياه- قلم‌چي- نهال‌ دانش-
مدرس:فائق، هدف، ملاصدرا، علوم، پيام‌جاويد، پيام، فرهنگ، بهارستان‌كرج، مبتكران‌فارس،
علامه‌حلي‌قزوين ، گلشن‌رازاصفهان و.......
علاقه‌مند به ورزش فوتبال، كشتي‌گير‌ي و ماهي‌گيري
داراي دو فرزند: نويد 14 ساله و نازگل 11 ساله
همسر:پرينازرضازاد ،كارشناس علوم اجتماعي

تاریخچه احتمال و خوان اول

---

پیدایش رسمی احتمال از قرن هفدهم به عنوان متدی برای محاسبه شانس در بازیهای قمار بوده است. اگر چه ایده های احتمال شانس و تصادفی بودن از تاریخ باستان در رابطه با افسونگری و بخت آزمایی و بازیهای شانسی و حتی در تقسیم کار بین راهبان در مراسم مذهبی وجود داشته است و به علاوه شواهدی از بکارگیری این ایده ها در مسایل حقوق٫ بیمه٫ پزشکی و نجوم نیز یافت میشود٫ اما بسیار عجیب است که حتی یونانیان اثری از خود در رابطه با استفاده از تقارنی که در هندسه بکار می برده اند در زمینه احتمال یا اصولی که حاکم بر مسایل شانس باشد بجا نگذاشته اند.
● ارسطو پیشامدها را به سه دسته تقسیم می نمود:
۱) پیشامدهای قطعی که لزومآ اتفاق می افتادند.
۲) پیشامدهای احتمالی که در بیشتر موارد اتفاق می افتادند.
۳) پیشامدهای غیر قابل پیش بینی و غیر قابل شناسایی که فقط با شانس محض رخ میدهند.
اما ارسطو به تعبیرهای مختلف احتمال اعتقاد نداشته و فقط احتمال شخصی که مربوط به درجه اعتقاد افراد نسبت به وقوع پیشامدهاست را معتبر می دانسته است.
پاسکال و فرما اولی کسانی هستند که در اوایل قرن هفدهم مسایل مربوط به بازیهای شانسی را مورد مطالعه قرار دادند و این دو نفر به عنوان بنیانگزاران تیوری ریاضی احتمال لقب گرفته اند. دانشمندانی از قبیل هی گنز کارهای آنها را ادامه داده و ویت و هلی این مسایل را در آمارهای اجتماعی بکار گرفتند. این علم جدید نخستین نقطه اوج خود را در اثر مشهوری از ژاکوب برنولی بدست آورد. در این اثر علاوه بر تعریف کلاسیک احتمال ریاضی٫ اساس خاصی از قانون اعداد بزرگ و کاربردهای احتمال در آمارهای اجتماعی نیز مطرح شده است.
در قرن هجدهم متفکران بزرگی چون دی مور٫ دانیل برنولی٫ آلمبرت٫ اویلر٫ لاگرانژ٫ بیز٫ لاپلاس و گاوس قسمتی از وقت خود را به این علم جدید اختصاص دادند. بیز در سال ۱۷۶۳ قانون معروف بیز را ارایه می دهد و لاپلاس در نوشته ای تمام موضوع علم احتمال را جمع آوری می کند. مهمترین قضایای حدی که در محاسبات احتمالی بکار می رفته و تاثیر احتمال در ریاضی٫ فیزیک٫ علوم طبیعی٫ آمار٫ فلسفه و جامعه شناسی در این اثر جمع آوری شده است.
با مرگ لاپلاس در سال ۱۸۷۲ اوج پیشرفت این علم به اتمام رسید و علی رغم برخی تلاشهای فردی که ماحصل آنها کشف قضایایی چون قضیه اعداد بزرگ پواسون و یا نظریه خطاهای گاوس بود٫ بطور کلی احتمال کلاسیک ارتباط خود را با مسایل تجربی و علمی از دست میدهد. اما جریانهای متقابل ظاهر می شوند. به موازات پیشرفت نظریه ریاضی یک نظریه آمار به عنوان کاربردهایی از احتمال بوجود می آید. این نظریه در رابطه با مسایل مهم اجتماعی از قبیل اداره داده های آماری٫ مطالعه جمعیت و مسایل بیمه بکار می رفته است. اساس کار توسط افرادی چون کوتلت و لکسیز ریخته شده و توسط دانشمندانی چون فشنر(روانشناس)٫ تیله و برانز(منجمان)٫ گالتون و پیرسون(زیست شناسان) پیشرفت نموده است. این کارها در اواخر قرن نوزدهم در جریان بوده و در انگلستان و برخی دیگر از کشورها حرفه حسابگری٫ به مفهوم آماردانی که از اقتصاد و ریاضی هم اطلاعاتی دارد و در جمعیت شناسی و بیمه خبره می شود٫ رونق می یابد. از طرف دیگر فرمولهای کلاسیک ایده های احتمال میز مسیر پیشرفت و کاربردی خود را ادامه میدادند. در این قرن در تلاش برای روشن سازی پایه منطقی کاربردهای احتمال٫ وان میزز یک فرمولبندی جدید برای محاسبات احتمالی ارایه میدهد که نه تنها از نظر منطقی سازگار بوده بلکه نظریه ریاضی و تجربی پدیده های آماری در علوم فیزیکی و اجتماعی را پایه گذاری می نماید.
مدل کلاسیک احتمال توسط برنولی و لاپلاس معرفی شد. این مدل به دلیل فرض همطرازی و عدم امکان تکرار در شرایط یکسان و دلایل دیگر با اشکالاتی روبروست که بسیاری از پدیده های طبیعی بر آن منطبق نیست.
ایده های اساسی نظریه تجربی احتمال که قرار دادن فراوانی نسبی بجای احتمال است در سال ۱۸۷۳ توسط پواسون ارایه گردید.
بسیاری از مسایل احتمال حتی قبل از بیان اصول آن توسط کلموگرف در سال ٫۱۹۳۳ با ابزارهای تجربی و حتی نظری توسط دانشمندان مطرح شده است. ولی کلموگرف با بیان اصول احتمال پایه این علم و ارتباط دقیق آنرا با مباحث ریاضی مستحکم می نماید.
در این زمان احتمال به عنوان یکی از شاخه های ریاضی٫ نه تنها کلیه ابزارهای ریاضی را جهت پیشرفت خود بکار می گیرد٫ بلکه توانسته کاربردهایی را در حل برخی از مسایل ریاضی داشته باشد. نظریه احتمالی اعداد٫ نظریه احتمالی ترکیبیاتی و کاربردهای شاخص احتمال در برخی از مسایل آنالیز٫ بعضی از کاربردهای احتمال در ریاضی هستند.
از طرف دیگر احتمال به عنوان زیربنای ساختاری و اصول ریاضی علم آمار٫ در جهت پیشرفت این علم و قوام بخشی به دستورات آن نقشی اساسی دارد.
مسایل جالب احتمال هندسی و نظریه احتمالی اعداد٫ شمه ای از زیبایی های احتمال است که همه اینها با هم زیبایی٫ کارآیی و توان علم احتمال را نشان می دهند.
● خوان اول از کنفرانس ابرساختارهای جبری:
ابرساختارها چیزی نیستند جز تعمیم ایده های کلاسیک به سطحی بالاتر. به عنوان مثال تعریف عملگر از مجموعه ای به پاورست آن مجموعه (پاورست همان مجموعه تمام زیر مجموعه های یک مجموعه است.).

تاریخچه عدد صفر

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البتهبعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد[/b].[/size]

تاریخچه اختراع علائم ریاضی

الگو:جدول زیر بسیاری از علائم متداول در ریاضیات را به ترتیب تاریخ اختراع یا تاریخ استفاده مرتب کرده است.

این عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 1035 در 912 و 74KB بوده است.

این عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 1025 در 830 و 64KB بوده است.

این عکس تغییر اندازه داده شده است. برای دیدن آن در اندازه واقعی اینجا را کلیک کنید. اندازه واقعی آن 1028 در 468 و 39KB بوده است.

---

مثلثات

مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.

تاریخچه

اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.

کاربردها

علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود.

مثلثات )ایره مثلثاتی(

در ریاضیات دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد است. x و y دو مختصه روی این دایره هستند که بنا به تعریف دایره:

 x² + y² = 1

نقطه (x, y) روی این دایره با (۰, ۰) زاویه‌ای می‌سازد که از روابط زیر بدست می‌آید:

دایره مثلثاتی با نمایش زاویه t در نقطه (x, y)

بنابر این خواهیم داشت:



و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس دوره‌ای (پریودیک) هستند:





که در آن k عددی صحیح است. سایر توابع مثلثاتی نظیر تانژانت و کتانژانت و سکانت و کسکانت را می‌توان به همین ترتیب بدست آورد.

نمایش توابع مثلثاتی در دایره مثلثاتی

مثلثات)سینوس(

---

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

 تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث زیر داریم:

                                       

تغییرات سینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات سینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

تابع سینوس
تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد.

مثلثات)کسینوس(

کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جیب تمام بوده‌است.

 تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:

                   

می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند . پس داریم:

تغییرات کسینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

تابع کسینوس
تابع کسینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه کسینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [1,1 − ] است. شکل تابع f(x) = cosx گویاست که این تابع متناوب بوده و دوره تناوب آن 2π می‌باشد. تابع کسینوس تابعی زوج می‌باشد.