X
تبلیغات
ریاضیات با سرعت نور

مدرس و مولف برتر کنکور تهران

تابع

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند. یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولید کند. برای مثال با فرض y=x2 با ورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 را خواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x



img/daneshnameh_up/b/b5/function-pic2.jpg




در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند. با این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ  لایپ نیتز  مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط  لئونارد اویلر  در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه  دارد. 
چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح  باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:



img/daneshnameh_up/a/af/122.jpg



این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است





img/daneshnameh_up/c/c5/23.gif



  • این رابطه یک تابع یک به یک  است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند: 
  • زوج یا فرد  باشند.
  •  پیوسته یا نا پیوسته باشند.
  •  حقیقی یا مختلط  باشند.
  •  اسکالر یا  برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جادبه نیوتن  اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد.



با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.
|+| نوشته شده در  چهارشنبه بیست و یکم اسفند 1387 ساعت 8:9 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  | 

تابع یک به یک و پوشا

دید کلی:

تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│
معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x)
به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود.
در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم.
در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم.

تعریف تابع پوشا

تابع f:x→y را پوشا می نامیم اگر تنها f(x)=y

تعریف کلی برای تابع پوشا یا تابع در روی مجموعه ها:

گیریم f تابعی است که ناحیه تعریف آن x و ناحیه مقصد آن y باشد، یعنی تصویر x به توی y باشد:
در اینصورت مقادیر این تابع که آن ما با f(x) نشان می دهیم، یک زیر مجموعه ای است از مجموعه y ، یعنی f(x) cy یعنی اگر ناحیه مقصد y و ناحیه مقادیر تابع f(x) یکسان باشند، در اینصورت f تابعی از x در روی y است یا f "x را در روی y تصویر می کند". یا به طور ساده گویند f یک تابع پوششی است.
در این حالت از تابع هریک از عناصر ناحیه مقصد، افلا تصویر یکی از عناصر ناحیه تعریف تابع (x) می باشند.

مثالی از تابع پوشا:

1) تابع جز صحیح Ө:R→Z از مجموعه اعداد حقیقی به مجموعه اعداد صحیح که هر عدد حقیقی x را به جز صحیح x نظیر می کند.
Ө(x)=x
پوشاست. ولی تابع قدر مطلق α:R→R از مجموعه اعدادحقیقی به خودش که هر عدد حقیقی x را به قدر مطلق آن نظیر می کند.
Α(x)=│x│
پوشا نیست. چون اگر منحنی تابع قدر مطلق را رسم کنیم این منحنی فقط اعداد حقیقی مثبت را شامل میشود که با تعریف تابع قدر مطلق که تمام اعداد حقیقی را شامل میشود تناقص دارد. پس تابع قدر مطلق پوشا نیست.

تابع یک به یک:

تابع دلخواه f:x→y را در نظر می گیریم. فرض می کنیم b,a دو عنصر دلخو.اه متعلق به قلمرو f باشند. بر حسب تعریف تابع، تصاویر f(b),f(a) می توانند هر عنصری از مجموعه y یا برد f باشند. بنابراین ممکن است داشته باشیم.
F(a)=f(b)
مثلا تابع قدر مطلق α:R→R را در نظر می گیریم. واضح است که برای هر عدد حقیقی a داریم
Α(a)=a(-a)
البته ممکن است که برای تابع خاص f:x→y به ازای هیچ دو عنصر b,a از قلمرو f، تساوی امکان پذیر نباشد. توابعی را که دارای ان خاصیت مهم باشند، یک به یک می نامیم.

تعریف تابع یک به یک:

تابع f:x→y را یک به یک می نامیم، اگر و تنه اگر، تصاویر عناصر متمایز قلمرو f متمایز باشند. به عبارت دیگر، تابع f:x→y یک به یک است اگر و تنها اگر برای هر دو عنصر دلخواه x2,x1 از قلمرو f که f(x1)=f(x2) نتیجه شود a=b مثلا، تابع شمول i:x→y که و برای هر با ضابطه تعریف می شود، تابعی یک به یکی است. در حالی که هیچ یگ از تواغبع جز صحیح Ө:R→Z و قدرمطلق α:R→R، یک به یک نیستند.

تشخیص یک به یک بودن:

اگر f یک به یک باشد، هر خط موازی محور x ها را حداکثر در یک نقطه قطعه می کند. در غیر این صورت f یک به یک نخواهد بود.

تابع دوسویی:

تابع f:x→y را دو سویی می نامیم، اگرو تنها اگر یک به یک و پوشا باشد.
به عنئوانمثال: تابع f:R→R که درجه فارنهایت را به درجه سانتیگراد تبدیل می کند تابع دو سویی است برای هر مجموعه دلخواه x، تابع همانی i:x→x که برای هر با ضابطه i(x)=x تعریف می شود، تابعی دو سویی است. یعنی هم یک به یک و هم پوشا می باشد.

رابطه یک به یک بودن با صعودی یا نزولی بودن:

اگر تابع f صعودی یا نزولی باشد، آنگاه یک به یک خواهد بود. ولی هر تابع یک به یک، صعودی یا نزولی نیست.

 

منابع :

  • ریاضیات پایه- تالیف: مهندس علی مدنی- موسسه انتشارات و چاپ دانشگاه تهران
  • ریاضیات پیش دانشگاهی- تالیف: اس- تی- هو- S.T.HU - ترجمه: محمد جلوداری ممقانی- لیدا فرخو- انتشارات دانشگاه پیام نور.


 

|+| نوشته شده در  چهارشنبه بیست و یکم اسفند 1387 ساعت 7:56 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  | 

مشتق(تابع ضمنی)

 مقدمه

وقتی معادله‌ای بر حسب y و y ، x را به عنوان تابعی مشتقپذیر از x تعریف کند، حتی در مواردی که نتوان y را از معادله بدست آورد، اغلب می‌تو‌ان با استفاده از قواعد مشتقگیری dy/dx را محاسبه کرد. در این مقاله ، نحوه این عمل را نشان می‌دهیم و به اختصار به ایده نهفته در پس این روش اشاره می‌کنیم، سپس از این روش استفاده می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاعده توان علاوه بر نماهای صحیح برای نماهای کسری هم برقرار است. معادله x = y2 رادر نظر بگیرید همانطور که مشاهده می‌شود معادله مذکور دو تابع مشتقپذیر از x را تعریف می‌کند، یکی y = √x دیگری y = -√x. برای محاسبه dy/dx بطور ساده از دو طرف x = y2 نسبت به x مشتق می‌گیریم و y را به عنوان یک تابع ، هر چند نامشخص ، مشتقپذیر از x تلقی می‌کنیم. با انجام این عمل داریم:


2ydy/dx = 1 و سپس dy/dx = 1/2y


تابعیت ضمنی

بیشتر معادلات ، معادلاتی دارند که y را بطور صریح بر حسب x بیان می‌کند. اما غالبا به معادلاتی بر می‌‌‌‌‌‌خوریم که y را بطور صریح بر حسب x به دست نمی‌دهند. در عین حال ، هر یک از این معادلات رابطه‌‌ای بین y و x تعریف می‌کنند. وقتی عدد معینی از دامنه مناسبی به جای x قرار گیرد، معادله حاصل یک یا چند مقدار برای y بدست می‌دهد. می‌توان جفتهای y و x حاصل را در صفحه مشخص و نمودار معادله را رسم کرد. نمودار معادله دلخواهی چون f(x,y) = 0 برحسب x و y ممکن است نمودار تابعی مانند y = f(x نباشد، زیرا شاید برخی از خطوط قائم آن را بیش از یک بار قطع کنند. با وجود این بخشهای مختلفی از خم f(x,y) = 0 می‌توانند نمودار تابعی از x باشند.

نمودار x2+y2-1 = 0 دایره‌‌‌ x2+y2 = 1 است کل این دایره نمودار هیچ تابعی از x نیست به ازای هر x واقع در بازه (1و1-) ، دو مقدار y بدست می‌آیند:

y = √1-x2 و y = - √1-x2


با وجود این نیم دایره‌های بالایی و پایینی نمودار توابع f(x) = √1-x2 و g(x) = √1-x2 هستند. هرگاه x بین 1 و -1 باشد، جفتهای (x,√1-x2) و (x,-√1-2) در معادله x2 + y2 = 1 صدق می‌کنند. همانطور که مشاهده می‌شود توابع g و f به ازای x بین 1 و -1 مشتق پذیر نیز هستند، چون نمودارهای آنها در x=±1 مماس قائم دارند، این توابع در این نقاط مشتق پذیر نیستند.


 یک سوال راهگشا برای درک مشتقگیری ضمنی

چه موقع می‌توان انتظار داشت که توابع مختلف (y=f(x که با رابطه f(x,y)=0 تعریف می‌شوند مشتقپذیر باشند؟

   * پاسخ: هنگامی که نمودار رابطه به اندازه کافی هموار باشد تا در هر نقطه آن خطی مماس وجود داشته باشد، از جمله این موارد وقتی است که فرمول F ترکیبی جبری از توانهای y,x باشد. برای محاسبه مشتق توابعی که بطور ضمنی تعریف می‌شوند، Y را به عنوان تابعی هر چند ناشناخته ، مشتق پذیر از x در نظر می‌گیریم و از دو طرف معادله نسبت به x مشتق می‌گیریم. این روش را مشتق گیری ضمنی می‌نامند. 


 کاربردها

   * مشتقگیری ضمنی ، مشتق از مراتب بالا را هم بدست می‌دهد. 
   * کاربرد برای پیدا کردن خط مماس: همانگونه که قبلا دیدیم مشتقگیری ضمنی معمولا dy/dx را بر حسب هم x و هم y بیان می‌کند. در این گونه موارد برای محاسبه شیب خم در نقطه معلومی چون (x1,y1) ، باید در عبارت نهایی dy/dx مقادیرx1وy1را قرار دهیم. 
   * کاربرد در پیدا کردن خطهای قائم بر خم: در قانونی که چگونگی تغییر جهت نوری را که از سطح یک عدسی می‌گذرد توصیف می‌کند، زاویه‌های مهم زوایایی هستند که نور در نقطه ورود با خط عمود بر سطح می‌‌سازد. این خط را خط قائم در نقط ورود می‌نامند. در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، بنا به تعریف خط قائم بر یک خم مشتقپذیر در نقطه‌ای چون P صرفنظر از اینکه خم ، نمایش سطح چه چیزی باشد، خط عمود بر مماس بر خم در P است. 
   * با استفاده از مشتقگیری ضمنی می‌توانیم قاعده توان را تعمیم دهیم تا نماهای کسری را هم شامل شود.
|+| نوشته شده در  چهارشنبه بیست و یکم اسفند 1387 ساعت 7:40 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  | 

مشتق

تابع مشتق‌پذیر در یک نقطه

اگر مشتق تابع f \! در نقطه‌ای مانند x \! موجود و معین باشد، گفته می‌شود که تابع f \! در نقطه‌ی x مشتق‌پذیر است.

 تابع مشتق‌پذیر

اگر تابعی در هر نقطه از دامنه‌اش مشتق‌پذیر باشد، تابع مشتق‌پذیر نامیده می‌شود.

 شرایط مشتق‌پذیری

برای اینکه تابعی در یک نقطه مانند x \! مشتق‌پذیر باشد، باید در   یک همسایگی  آن تعریف شده باشد و نیز در آن نقطه  پیوسته باشد. یا به عبارتی تابع در آن نقطه هموار باشد. البته این شرط لازم برای مشتق پذیری تابع در یک نقطه است.برای مثال در حالت های زیر تابع در نقطه a پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست ۱نقطه بازگشتی مشتق بینهایت می‌شود ۲نقطه زاویه دار مشتق چپ و راست برابر نیست

 مشتق تابع مرکب

نوشتار اصلی: مشتق توابع مرکب

تابع ترکیب دو تابع f(x) \! و g(x) \! عبارت است از: h(x) = f(g(x)) \! و مشتق این تابع مرکب عبارت است از: h'(x) \!

کاربردها

 پیدا کردن شیب خط

پیدا کردن خطی که دریک نقطه بر یک منحنی مماس یا عمود است. برای معادله خط (y=f(x ، شیب خط قاطع برابر است با: m ، m=tanθ را شیب یا ضریب زاویه‌ای می‌گویند. خطی که بر مماس بر منحنی عمود باشد، خط قائم بر منحنی می‌نامیم. بنابراین اگر m≠۰ شیب خط مماس و m شیب خط قائم بر منحنی باشد، آنگاه داریم: m.m= -۱

از مشتق می‌توان در ساختن جامدادی ، وسایل نظامی ، در ساختن قطب نما و غیره استفاده کرد یعنی می‌توان با استفاده از مشتق شیب مثلاً جامدادی را محاسبه کنیم. مثلاً در ساختن دیدبانی می‌توان از ضریب زاویه‌ای استفاده کرد. در صورتی که شیب در نقطه n مساوی صفر باشد آنگاه مماس بر منحنی در این نقطه، خطی افقی یا موازی محور x است. بنابراین خط قائم بر منحنی در این نقطه، خطی عمودی یا موازی محور y خواهد بد و داریم: ∞ = (m(a


 محاسبه تغیرات یک کمیت نسبت به دیگری

با استفاده از مشتق می‌توان مقدار تغییرات یک کمیت را نسبت به کمیت معین دیگری، وقتی این دو کمیت به وسیله تابعی به هم مربوط هستند، به دست آورد. مثلاً اگر (g(r مساحت دایره‌ای به شعاع r باشد، داریم: g(r) = π r۲ آنگاه مقدار لحظه‌ای تغییر مساخت دایره نسبت به شعاع آن برابر است با g(r) = ۲πr مقدار لحظه‌ای تغییر مساحت این دایره، وقتی شعاع آن برابر مقداری مثل r=۱ باشد، برابر است با: g(۱) = ۲π

 پیدا کردن شتاب

اگر (S(t معادله حرکت جسم متحرک باشد آنگاه V را متوسط سرعت در یک فاصله زمانی می‌گویند. اگر از سرعت متوسط مشتق بگیریم مقدار شتاب حرکت بدست می‌آید. که شتاب را با (a(t نشان می‌دهند یعنی شتاب در لحظه t می‌باشد. (a(t)=V(t)=S"(t

محاسبه انرژی جنبشی

می‌دانیم انرژی جنبشی جسمی به جرم m و سرعت V عبارت است از ۲/(m.v^۲) برای بدست آوردن انرژی جنبشی می‌توان سرعت را از طریق گرفتن مشتق از معادله حرکت بدست آورد سپس مقدار V را در معادله انرژی جنبشی قرار داد.

پیدا کردن ماکزیمم و مینیمم نسبی توابع

اگر تابعی در یک نقطه از یک بازه اکسترمم نسبی داشته باشد و مشتق تابع نیز در آن نقطه وجود داشته باشد آنگاه مشتق تابع در آن نقطه مساوی صفر است. منظور از اکسترمم نسبی داشتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی در یک نقطه است. ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی به صورت زیر تعریف می‌شوند:

تابع f در نقطه d یک "ماکزیمم نسبی" دارد هر گاه (f(d)≥f(x تابع f در نقطه C یک "مینیمم نسبی" دارد هر گاه (f(c)≤f(x

پیدا کردن تابع صعودی و نزولی

اگر برای همه مقادیر (xε(a,b داشته باشیم:

اگر مشتق f بزرگ‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی صعودی است. اگر مشتق f کوچک‌تر از صفر باشد آنگاه f تابعی نزولی است.

 تعیین نقاط بحرانی توابع

نقطه C از قلمرو f را یک نقطه بحرانی f می‌نامیم، در صورتی که یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: ۱- مشتق f در نقطه c وجود نداشته باشد. ۲- مشتق f در نقطه C مساوی صفر باشد.

فرض کنید C یک نقطه بحرانی تابع f(c)=۰,f باشد، داریم:
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C کوچک‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C ماکزیمم نسبی دارد.
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگ‌تر از صفر باشد، آنگاه f در نقطه C مینیمم نسبی دارد.

پیدا کردن تقعر، تحدب و نقطه عطف

منحنی (y = f(x را در نقطه ( (C , f(C ) مقعر می‌نامیم، اگر مشتق در نقطه C وجود داشته باشد و برای هر x متعلق به این بازه در بالای خط مماس بر منحنی واقع باشد. منحنی (y=f(x را در نقطه ( (C , f(C ) محدب می‌نامیم، اگر مشتق f در نقطه C وجود داشته باشد برای هر x متعلق این بازه در پایین خط مماس بر منحنی واقع باشد.

یا داشته باشیم:
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه C بزرگ‌تر از صفر باشد، آنگاه منحنی f در نقطه c مقعر است.
اگر مشتق مرتبه دوم f در نقطه c کوچک‌تر از صفر باشد، آنگاه منحنی در نقطه C محدب است.

نقطه عطف: اگر روی یک منحنی نقطه‌ای وجود داشته باشد که در آن نقطه تقعر منحنی بر تحدب تغییر کند یا بر عکس، آن را یک نقطه عطف می‌نامیم. یا می‌توانیم بگوییم: f"(C) = ۰

|+| نوشته شده در  چهارشنبه بیست و یکم اسفند 1387 ساعت 7:29 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  | 

فرمول های انتگرال از دبیرستان تا دانشگاه:
  • \int u.dv=uv- \int v.du

  • \int a^u.du=\frac{(a^u)}{Ln a}+c,a\ne1,a>1

  • \int cosu=sinu+c

rst kind)

  • \int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)

\int sinu=cosu+c


  • \int (ax+b)^n.dx=\frac{(ax+b)^{n+1})}{a(n+1)}+c,n\ne-1

  • \int (ax+b)^{-1}.dx=\frac{1}{a}ln\mid ax+b\mid+c

  • \int x(ax+b)^n.dx=\frac{(ax+b)^{n+1})}{a^2} . [\frac{ax+b}{n+2} - \frac{b}{n+1} ]+c,n\ne -1,-2

  • \int x(ax+b)^{-1}.dx=\frac{x}{a}-\frac{b}{a^2} ln\mid ax+b\mid+c

  • \int x(ax+b)^{-2}=\frac{1}{a^2}[ln\mid ax+b\mid+\frac{b}{ax+b}]+c

  • \int \frac {dx}{x(ax+b)}=\frac {1}{b} ln \mid \frac{x}{ax+b}\mid +c

جدول کامل انتگرال‌ها

عمومی

  • \int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx
  • \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
  • \int f'(x)g(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)\,dx
  • \int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
  • \int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C
  • \int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)] \over n+1}^{n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!
  • \int(k)dx=kx
  • \int_{a}^{b}(u)dx=\int_{a}(u)dx-\int_{b}(u)dx+C
  • \int(m+n-u)dx=\int(m)dx+\int(n)dx-\int(u)dx+C

توابع گویا:

  • \int \,dx = x + C
  • \int (x^n)\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ where }n \ne -1
  • \int (\frac{1}{x})\,dx = \int (x^{-1})\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
  • \int (\frac{1}{a^2+x^2})dx = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C
  • \int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
  • \int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
  • <\int> {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C
  • \int {-dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \csc^{-1} {|x| \over a} + C

توابع لگاریتمی:

  • \int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x+x + C
  • \int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

توابع نمایی:

  • \int e^x\,dx = e^x + C
  • \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

توابع مثلثاتی:

  • \int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
  • \int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
  • \int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
  • \int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
  • \int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
  • \int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C
  • \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
  • \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
  • \int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
  • \int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C
  • \int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
  • \int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
  • \int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
  • \int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
  • \int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
  • \int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

توابع هایپربولیک:

  • \int \sinh x \, dx = \cosh x + C
  • \int \cosh x \, dx = \sinh x + C
  • \int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
  • \int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
  • \int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
  • \int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C
  • \int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C
  • \int \operatorname{arcsinh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arcsinh}\, x - \sqrt{x^2+1} + C
  • \int \operatorname{arccosh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arccosh}\, x - \sqrt{x^2-1} + C
  • \int \operatorname{arctanh}\, x \, dx  = x\, \operatorname{arctanh}\, x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
  • \int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x\, \operatorname{arccsch}\, x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
  • \int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x\, \operatorname{arcsech}\, x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
  • \int \operatorname{arccoth}\,x \, dx  = x\, \operatorname{arccoth}\, x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C
  • \int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
  • \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
  • \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2} (if n is an even integer and   \scriptstyle{n \ge 2})
  • \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n} (if  \scriptstyle{n} is an odd integer and   \scriptstyle{n \ge 3} )
  • \int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}
|+| نوشته شده در  دوشنبه نوزدهم اسفند 1387 ساعت 7:54 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  | 

انتگرال
انتگرالها یک بحث اساسی ریاضیات عالی را تشکیل داده که میتوان کاربرد آنرا درتمام علوم طبیعی، انسانی وغیره مورد مطالعه قرارداد.

 

 

اولین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد. \int_{a}^{b} f(x)\, dx aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است.

 تابع اولیه

هر گاه معادله مشتق تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را تعیین کنیم این عمل را تابع اولیه می نامیم.

تعریف: تابع اولیه y = f(x)را تابعی مانند Y = F(x) + c می نامیم،هرگاه داشته باشیم:

cعدد ثابت (y = F(x) + c)' = y = f(x)

 انتگرال نامعین

تعریف:هرگاه معادله دیفرانسیلی تابعی معلوم باشد وبخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل راانتگرال نا معیین نامیده و آن را با نماد \int نمایش می دهند.

بنا به تعریف نماد\int{f(x)}.dx را انتگرال نامعین نامیده وحاصل آن را تابعی مانندF(x) + c در نظر میگیریم هر گاه داشته باشیم: \int{f(x)}.dx=F(x)+c با شرط: (F(x) + c)' = f(x)

انتگرال معین

بنا به تعریف نماد\int_a^b f(x).dx را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را عددی به صورت زیر تعریف میکنیم: a

aوb را به ترتیب کرانهای بالا و پایین انتگرال مینامیم.

 تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.


نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دو گانه)معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است(غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (0,10) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=10 و خم منحنی fx است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

نمایش گرافیکی انتگرال.

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

 انتگرال گیری

محاسبه انتگرال( انتگرال گیری) به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است.

 مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ (Lebesgue) است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعويض پذيری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان-استیلچس (Riemann-Stieltjes) اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زير از مهم‌ترين تعاريف انتگرال مي باشند:


  • انتگرال ریمان
  • انتگرال لبگ
  • تعمیم انتگرال ریمان(انتگرال ریمان استیلتیس)


 کاربرد

انتگرال ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می توان برای کاربرد های زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه   فشار و حجم به دست می آید. اما به طور کلی می توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عممودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت ها را تحلیل ابعادی می کنیم مثلا رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می شود:

 v=[L]/[T]  t=[T] \!

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می کنیم:

[L] \!

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

|+| نوشته شده در  دوشنبه نوزدهم اسفند 1387 ساعت 7:41 بعد از ظهر  توسط امیرکیائی  |